「数学/数学B/数列/{等差×等比}型数列の和⇒微分を利用せよ」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら
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=オリジナル=
等差数列×頭皮数列の和は計算が大変。教科書ではずらして解くわけだが、
簿記などの別冊冊子の配布を希望していなければ、計算するスペースが無い
恐れがある。
そんな時は微分を使うべし。使うか使わないかで最悪5分以上の差が出る。
等差数列をpn+q,頭皮数列をar^(n-1)とすると
等差数列×頭皮数列＝panr^(n-1)+qar^(n-1)=Anr^(n-1)+Br^(n-1)とおける。
∑{Akr^(k-1)+Br^(k-1)}=∑Akr^(k-1)+∑Br^(k-1)
Bの方はそのまま公式。後は前の部分。
x^(n+1)-1=(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)(x-1)よりｘ≠1のとき
(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)={x^(n+1)-1}/(x-1)
xで微分して
1+2x+3x^2+・・・+(n-1)x^(n-2)+nx^(n-1)={(n+1)(x-1)x^n-x^(n+1)+1}/(x-1)^2
x=rとすれば
∑kr^(k-1)=1+2r+3r^2+・・・+(n-1)r^(n-2)+nr^(n-1)
={(n+1)(r-1)r^n-r^(n+1)+1}/(r-1)^2
∑はk=1～n
微分の結果を丸暗記しておくと、あっという間に解ける。
/::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ﾊ-┐ Λ／
＿,.ﾍ/:::::::,ﾍ::::::::__ｒ-､斗＜´ L＿ ／
「 ｀ヽ ﾊ-ｧ＿__ﾉ＿ /
ｒｿ ＞'´,r―― ､＿ ｒ――-､イ＿ /
＞ ´::::／ / / i ヽ ＼::::＜ 数
＜:::::::::／ / /＼ ./ ハ /,ゝ、| |::::::::＞ 列
｀ヽﾉ ./ ｒ ―-､-/ ! /ｧ―､ ! ﾄ､:::::>
イ i ｲ i´｀! ﾚ i´｀! ﾄ! ﾊ く は
Λ ハ l__ﾘ ｌ__ﾘ .|レ'ン ７
ヽV V´｀フ .| ｀ー- ､ -一´i ハ i ＼/＼/＼
ブ く .ﾊ ,r‐- ､＿_,-‐-､ 〈人ﾉ ﾊ ﾍ
区 .ｌ / へゞー-,.ー ､-一.! ﾊﾉ- ､ ﾍ ',
間 .ス ゝ /:::｀＞ー一＜´::|7 ﾉ ヽ/ ',
だ!.ト / ｲ::::::ﾄ､＿|｡|＿ﾉ::::|ﾄﾉ
(出典: [http://www9.atpages.jp/ctec/kako/p1.html#R498 初代 >>498])
=TeX表示・補足=
等差数列を <math>a_{n}=pn+q</math>、等比数列を <math>b_{n}=ar^{n-1}</math> とする。
いま、求めたいものは <math>a_{n}b_{n}</math> の和 <math>\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}</math> である。ここで、
:<math>a_{n}b_{n}&=&panr^{n-1}+qar^{n-1}</math>
について、 <math>pa=A,\ qa=B</math> (ともに定数) とおけば、
:<math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum_{k=1}^{n}(Akr^{k-1}+Br^{k-1}) \\
&=\sum_{k=1}^{n}Akr^{k-1}+\sum_{k=1}^{n}Br^{k-1} \\
&=A\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}+B\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}
\end{align}
</math>
<math>\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}</math> については等比数列の和の公式で対応できる。
一方、
:<math>\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}=1+2r+3r^{2}+4r^{3}+\cdots+(n-1)r^{n-2}+nr^{n-1}</math>
の処理がこのテクニックの要である。
以下この処理について述べる。 <math>x^{n+1}-1</math> という式の変形について考えると、
:<math>x^{n+1}-1=(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n-1}+x^{n})(x-1)</math>
とできるから、 <math>x\ne1</math> のとき
:<math>1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n-1}+x^{n}&=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math>
両辺を<math>x</math>で微分して(文系履修者は、右辺の微分に[http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6III_%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95#.E5.95.86.E3.81.AE.E5.B0.8E.E9.96.A2.E6.95.B0 商の微分法]を用いることに注意)、
:<math>1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots+(n-1)x^{n-2}+nx^{n-1}&=\frac{(n+1)(x-1)x^{n}-x^{n+1}+1}{(x-1)^{2}}</math>
<math>x=r</math> とすると、これは処理しようとしているシグマの式と一致するから、
:<math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}&=1+2r+3r^{2}+4r^{3}+\cdots+(n-1)r^{n-2}+nr^{n-1} \\
&=\frac{(n+1)(r-1)r^{n}-r^{n+1}+1}{(r-1)^{2}}
\end{align}
</math>
=オリジナル=
等差数列×等比数列の和は計算が大変。教科書ではずらして解くわけだが、
簿記などの別冊冊子の配布を希望していなければ、計算するスペースが無い
恐れがある。
そんな時は微分を使うべし。使うか使わないかで最悪5分以上の差が出る。
等差数列をpn+q,等比数列をar^(n-1)とすると
等差数列×等比数列＝panr^(n-1)+qar^(n-1)=Anr^(n-1)+Br^(n-1)とおける。
∑{Akr^(k-1)+Br^(k-1)}=∑Akr^(k-1)+∑Br^(k-1)
Bの方はそのまま公式。後は前の部分。
x^(n+1)-1=(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)(x-1)よりｘ≠1のとき
(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)={x^(n+1)-1}/(x-1)
xで微分して
1+2x+3x^2+・・・+(n-1)x^(n-2)+nx^(n-1)={(n+1)(x-1)x^n-x^(n+1)+1}/(x-1)^2
x=rとすれば
∑kr^(k-1)=1+2r+3r^2+・・・+(n-1)r^(n-2)+nr^(n-1)
={(n+1)(r-1)r^n-r^(n+1)+1}/(r-1)^2
∑はk=1～n
微分の結果を丸暗記しておくと、あっという間に解ける。
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「 ｀ヽ ﾊ-ｧ＿__ﾉ＿ /
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間 .ス ゝ /:::｀＞ー一＜´::|7 ﾉ ヽ/ ',
だ!.ト / ｲ::::::ﾄ､＿|｡|＿ﾉ::::|ﾄﾉ
(出典: [http://www9.atpages.jp/ctec/kako/p1.html#R498 初代 >>498])
=TeX表示・補足=
等差数列を <math>a_{n}=pn+q</math>、等比数列を <math>b_{n}=ar^{n-1}</math> とする。
いま、求めたいものは <math>a_{n}b_{n}</math> の和 <math>\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}</math> である。ここで、
:<math>a_{n}b_{n}&=&panr^{n-1}+qar^{n-1}</math>
について、 <math>pa=A,\ qa=B</math> (ともに定数) とおけば、
:<math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum_{k=1}^{n}(Akr^{k-1}+Br^{k-1}) \\
&=\sum_{k=1}^{n}Akr^{k-1}+\sum_{k=1}^{n}Br^{k-1} \\
&=A\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}+B\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}
\end{align}
</math>
<math>\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}</math> については等比数列の和の公式で対応できる。
一方、
:<math>\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}=1+2r+3r^{2}+4r^{3}+\cdots+(n-1)r^{n-2}+nr^{n-1}</math>
の処理がこのテクニックの要である。
以下この処理について述べる。 <math>x^{n+1}-1</math> という式の変形について考えると、
:<math>x^{n+1}-1=(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n-1}+x^{n})(x-1)</math>
とできるから、 <math>x\ne1</math> のとき
:<math>1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n-1}+x^{n}&=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math>
両辺を<math>x</math>で微分して(文系履修者は、右辺の微分に[http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6III_%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%B3%95#.E5.95.86.E3.81.AE.E5.B0.8E.E9.96.A2.E6.95.B0 商の微分法]を用いることに注意)、
:<math>1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots+(n-1)x^{n-2}+nx^{n-1}&=\frac{(n+1)(x-1)x^{n}-x^{n+1}+1}{(x-1)^{2}}</math>
<math>x=r</math> とすると、これは処理しようとしているシグマの式と一致するから、
:<math>
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}&=1+2r+3r^{2}+4r^{3}+\cdots+(n-1)r^{n-2}+nr^{n-1} \\
&=\frac{(n+1)(r-1)r^{n}-r^{n+1}+1}{(r-1)^{2}}
\end{align}
</math>
