数学 > 数学II > 微分積分 > 極値を求める公式


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3次関数y=ax^3+bx^2+cx+dで極大値極小地を求めさせて、塗らせる問題はよく見かけるが、
代入するxが√だったり、分数だったりした暁には計算が嫌になる。
                  _r'ニ二> 、
               _,. :'´ ̄: :`ヽ\::.::`ヽ
            _,.:'´: : : : : : : : : : ヽ ';:.::.::ハ
        l/ \_  _ _‐-、 : : : : : : : : : :}_j::/::.::i
        ,,l |! , rィ¨ リ フ'^ー、: : : : : : :/'イ::.::.::{       ,.、
      /  k:ヽ:レy_. Vム . ト_>;.-'TT´::::::.::.::.:;ノ   _,.f´__,\
      .′   .   ..:..}v|  | `ト .く._!:::::::_;.イ--、―¬;.:.:.:.:_:.:.:\
.     l .  :     :. .:! |  |  l  /イ  / .  j_,. -亠'¨⌒ヽ:_ノ
      ! {  :  :.  |:.:,! ! ̄ ̄| `ー'´ ヽ.__,,.. -‐'´
     }.:}.  :.l  :.: .!:.i...|' ,  ロ|
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     ⌒j,ィ:.{:!:ハ:|:!{{|  |___|
       ,レ^ト! }川`ー/,.  {
              }n.n r}

せめて、1回だけにしたい。
そんな時は、片方だけ求めて、是に入れればよい。
極大値-極小値=┃(a/2)(p-q)^3┃
┃は絶対値
◆証明
極小値、極大値となるxをp、q。
極大値-極小値=┃f(q)-f(p)┃=┃∫[p~q]f '(x)dx┃
=┃∫[p~q](3ax^2+2bx+c)dx┃=┃∫[p~q]3a(x-p)(x-q)dx┃=┃(a/2)(p-q)^3┃
「その1回」の計算も嫌だって人は、極大値+極小値を式の割り算→代入で求めて、足せばよろし。
どっちが早いかは問題次第だと思うが・・・

(出典: 初代 >>460)
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