5点セットで装備しているコトにより発動します

メルディアは一人でも色々な歌を歌いますが、
「なびく人魚の髪」「紺碧の上衣」「紺碧の海と人魚」「紺碧の竪琴」「人魚の秘薬」
「なびく髪とリボン」「真紅の上衣」「薄藍の海と人魚」「真紅の竪琴」「人魚の小瓶」
を装備していると、あなたとデュエット出来るようになります。
一緒に歌ってみてくださいね♪
(販促ページからの引用です)

装備LV 能力 所出
なびく人魚の髪 紺碧の上衣 紺碧の海と人魚 紺碧の竪琴 人魚の秘薬 230 攻61 防237 魔453 魅55 水50 夏祭り10Cアイテム
なびく髪とリボン 真紅の上衣 薄藍の海と人魚 真紅の竪琴 人魚の小瓶 60 攻9 防106 魔162 魅25 水25 夏祭り10Cアイテム

■メルディア(夏祭り10キャッシュペット)の行動
スキル1の種類(ランダム) LV230装備あり LV60装備あり
【※注釈2をご覧ください】
装備なし
経験値アップ 1~プレイヤーのLV×2 1~プレイヤーのLV×1.4 1~プレイヤーのLV
G獲得
【※注釈1をご覧ください】
6~メルディアのLV×2 6~メルディアのLV×1.4 6~メルディアのLV
運アップ 1~100 1~50 1~20
HP回復 1~500 1~300 1~200
通常攻撃の強さ300(魔力比例)
発動率からスキル2、3はないようです
【注釈1】
LV1、2で3Gや4Gの獲得は見られるモノの、LV3~5ではまったくG獲得行動を出しません
LV6から再び出すようになります
LV比例に付随したナニかの設定のせいだと思います
ちなみに、ツリー系にも似たような状況が見られます
※数値以外の見解はあくまで個人的体験に基づくモノです
【注釈2】
LV60装備の時の経験値アップとG獲得の係数は、最大と思われる数値
経験値アップ:プレイヤーLV330で459
G獲得:メルディアLV27で37、LV28で39
からの大雑把な逆算なので、これが正確かどうかはわかりません

追記
■もみー、もみぃ(クリスマス祭り05・06キャッシュペット)の進化系の行動
メルディアと比較されるコトの多いツリー系
スキル1の種類(ランダム) 効果大 効果小
経験値アップ 1~プレイヤーのLV
(柊)
1~3
(鈴)
G獲得
【※注釈3をご覧ください】
6~ツリーのLV
(モール)
1~3
(リボン)
運アップ 1~30
(ステッキ)
1~3
(ろうそく)
HP回復 1~300
(星)
1~30
(雪)
通常攻撃の強さ10(魔力比例)
【※注釈4をご覧ください】
発動率からスキル2、3はないようです
【注釈3】
G獲得効果大ツリー系はLV6までG獲得行動を出しません
LV比例に付随したナニかの設定のせいだと思います
G獲得効果小ツリー系は育てたコトがないのでわかりません
【注釈4】
通常攻撃の強さはもみー、もみぃの状態なので進化後にコレが当てはまるかどうかは不明です