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素因数分解と式の利用


今回私の使っていた教科書を元に解説していますが、
一部の内容は、教科書によっては平方根に含まれている
場合がありますので、ご了承下さい。

素因数分解

素数とは、1とその数自身でしか割ることのできない数字です。
ただし、1は含みません。
1桁の素数は、2と3と5と7になります。
素因数分解とは、これを利用します。

  • 例)120を素因数分解しなさい。
これは、素数である、2、3、5、7から選び抜き、
割って行きます。
120÷ 2 =60
60÷ 2 =30
30÷ 2 =15
30÷ 3 = 5
赤字の数字。これが素数です。これをまとめるだけで答えが出ます。
こたえ
2 ^{3}*3*5
となりました。解き方はこれだけなんですね〜w

  • 例)120になるべく小さい数をかけてある自然数の2乗にします。どんな数をかけたらよいか。また、ある自然数とはいくつか。求めなさい。
出ました。この問題よく出ます。
方法としては、まず120を素因数分解します。(上の方法)
2 ^{2}*2*3*5
何かおかしいことに気付きました?
まぁ、これは後になれば分かると思います。
この数字。全てを2乗にするには、2と3と5をかければ
全ての数字が2乗になります。
2 ^{2}*2*3*5*2*3*5
=(2*2*3*5)^{2}
となります。つまり、これである自然数の2乗になったわけです。
まず、かける数は、かけた数をかけ、2*3*5で30。
ある自然数は2*2*3*5で60になりました。
答え かけた数30、自然数60

式の利用

  • 例)次の計算をしなさい。
98 ^{2}
はい。めんどうですね。わかります。
でも、これが簡単にもとめられちゃうんです。
答えは9604ですね。
え?電卓つかったって?いやいやwそんなことはしませんよ。
これは、乗法公式を利用して解きます。
(100-2) ^{2}
100ー2は98ですので、98の2乗と一致することがわかります。
これを計算すると
(100-2) ^{2}
=10000-400+4
=9604
ほら。一致しましたね。これで解けちゃうんです。

  • 例)次の計算をしなさい。
102*98
この答えは9996です。
この場合、次のようにやります。
(100+2)(100-2)
=10000-4
=9996
簡単でした。
こんな風に、乗法公式を利用することでこんなに簡単にとけてしまうのです。