中学数学@wiki
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中学数学@wiki
ja
2009-07-31T15:55:14+09:00
1249023314
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1次関数の式を求める
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/27.html
**1次関数の式を求めよう!\frac{}{}
早速問題。
問 2点(-2,4),(8,-1)を通る式をもとめよ。
これを、連立方程式で解くと、
4=-2a+b
-1=8a+b
となり、これを解くと、
$$a=-\frac{1}{2}$$ , $$b=3$$
よって、
$$y=-\frac{1}{2}x+3$$
となります。
また、別解があります。
2点(-2,4),(8,-1)を通るので、傾きaは、
$$a=\frac{-1-4}{8-(-2)}=\frac{-5}{10}=-\frac{1}{2}$$
よって、
$$y=-\frac{1}{2}x+b$$
点(-2,4)を通るから、
$$4=-\frac{1}{2}x*(-2)+b$$
4=1+bより、b=3
よって、
$$y=-\frac{1}{2}x+3$$
答えは一緒です。
2009-07-31T15:55:14+09:00
1249023314
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図形
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/26.html
**図形
-[[角度を求めよう!(円とブーメラン)]]
-[[図形の証明の仕方 その1]]
2009-06-28T19:50:37+09:00
1246186237
-
数式
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/25.html
**数式
-[[連立方程式を利用した文章題]]
-[[展開と因数分解]]
-[[素因数分解と式の利用]]
-[[式の利用(文字式を使った説明)]]
-[[平方根]]
-平方根の加法/減法
-[[2次方程式]]
-[[2次方程式を解くその1]]
2009-06-28T19:50:03+09:00
1246186203
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中3問い答え
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/24.html
**中3問い答え
***2次方程式を解くその1
(1)
$$x ^{2}-3x+2=0$$
$$(x-1)(x-2)=0$$
$$x-1=0$$または$$x-2=0$$
よって、x=1,x=2
(2)
$$x ^{2}-8x+16=0$$
$$(x-4) ^{2}=0$$
$$x-4=0$$
よって、x=4
(3)
$$x ^{2}+2x-8=0$$
$$(x+4)(x-2)=0$$
$$x+4=0$$または$$x-2=0$$
よって、x=-4,x=2
(4)
$$2y ^{2}-3y=y ^{2}$$
$$2y ^{2}-y ^{2}-3y=0$$
$$y ^{2}-3y=0$$
$$y(y-3)=0$$
$$y=0$$または$$y-3=0$$
よって、y=0,y=3
2009-06-28T19:48:08+09:00
1246186088
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2次方程式を解くその1
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/23.html
**2次方程式を解く
***2次方程式を解いてみよう。
$$(1) x ^{2}-5x+6=0$$
これをxに0から4を代入して解いてみましょう。
x=0のとき
$$0 ^{2}-5*0+6=6$$
成り立たない。
----
x=1のとき
$$1 ^{2}-5*1+6=2$$
成り立たない。
----
x=2のとき
$$2 ^{2}-5*2+6=0$$
成り立ちました!
念のため、4までいきます。
----
x=3のとき
$$3 ^{2}-5*3+6=0$$
あ、もう1つありました!
----
x=4のとき
$$4 ^{2}-5*4+6=2$$
成り立たない。
----
よって、xについての解は x=2,x=3
え?解はこの2つだけでいいのかって?まぁ、それはそのうち分かります。
***2次方程式の解き方
さっきの解き方、めんどくさくありませんでした?
x=1000だったりしたら大変ですね。
んで、さっきの式
$$x ^{2}-5x+6=0$$
よく見て下さい。思い出しません?これは中3でやりました。
そう、左辺に注目ですよ。
&font(red){因数分解}って分かりますよね。
これを使うことができるんです。
$$x ^{2}-5x+6=0$$
$$(x-2)(x+3)=0$$
$$x-2=0$$または$$x-3=0$$
よって、x=2,x=3
一致しましたね。これを使えば簡単に解けます。
さて、こんな問題。
$$x ^{2}-6x+9=0$$
$$(x-3) ^{2}=0$$
$$x-3=0$$
よって x=3
このように、2つの解が一致して、
解が1つになるものもあります。
では、問題
次の式を因数分解を利用して解きなさい。
$$(1) x ^{2}-3x+2=0$$
$$(2) x ^{2}-8x+16=0$$
$$(3) x ^{2}+2x-8=0$$
$$(4) 2y ^{2}-3y=y ^{2}$$
[[答えはここから>中3問い答え]]
2009-06-28T19:40:26+09:00
1246185626
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2次方程式
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/22.html
**2次方程式
***2次方程式とは?
中学で習うものは、正式名称を『1元2次方程式』と言います。
文字が1種類で、2乗の文字があるものをいいます。
では、これは2次方程式でしょうか。
$$x ^{2} +4x+2=-1$$
文字は一種類、1つ2乗があるので2次方程式ですね。
では、これはどうでしょうか。
$$x ^{2}+2x+3=x ^{2}-2x$$
はい、これも2次方程式ですね。
見た目は。でも2次方程式じゃないんです。
これを解いてみましょう。
$$x ^{2}+2x+3=x ^{2}-2x$$
$$x ^{2}-x ^{2}+2x+2x+3=0$$
$$4x+3=0$$
あれ?xの2乗が消えてしまい、ただの1次方程式になってしまいました。
そうです!これは2次方程式では無かったんです。
では、これを区別する為の方法です。
&font(red){重要}
右辺を0としたときに
$$ax ^{2}+bx+c=0$$
が成り立つ時(ただし、aを0でない定数、b,cを定数とする。)
2次方程式という。
では、次回は2次方程式を実際に解いて行きます。
2010-12-28T11:14:03+09:00
1293502443
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式の利用(文字式を使った説明)
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/21.html
*式の利用
**文字式を使って説明しよう!
問
ある2つの連続した奇数がある。この大きい方の2乗から、小さい方の2乗をひいたとき、8の倍数になることを文字nをつかって証明しなさい。
回答例1
2つの連続した奇数を2n+1,2n+3で表すと
$$(2n+3) ^{2}-(2n+1) ^{2}$$
$$=4n ^{2}+12n+9-(4n ^{2}+4n+1)}$$
$$=8n+8$$
$$=8(n+1)$$
nは整数なので、(n+1)も整数である。よって8(n+1)は8の倍数である。
回答例2
2つの連続した整数を2n-1,2n+3で表すと
$$(2n+1) ^{2}-(2n-1) ^{2}$$
$$4n ^{2}+4n+1-(4n ^{2}-4n-1)$$
$$8n$$
nは整数なので、8nは8の倍数である。
例)紙を用意し、幅xcmの正方形とそのまわりに幅(x+a)cmの正方形を作って下さい。
中の正方形と外の正方形の間(acmの中間)にセンターラインをひいて下さい。
問
幅xcmの正方形の池の回りに幅acmの道路を作りたい。
axmのちょうど半分にセンターラインを引き、bcmとした。。
道路の面積をSとしたとき、S=abとなることを説明しなさい。
$$S=(x+a+a) ^{2}-x ^{2}$$
$$S=(x+2a) ^{2}-x ^{2}$$
$$S=x ^{2}+4ax+4a ^{2}-x ^{2}$$
$$S=4ax+4a ^{2}$$
$$4a(x+a)$$
また、
$$b=4*(x+\frac{a}{2}+\frac{a}{2})$$
$$b=4(x+a)$$
$$ab=4a(x+a)$$
abの値とSの値が等しいので、S-abである。
2010-12-28T11:15:44+09:00
1293502544
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素因数分解と式の利用
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/20.html
**素因数分解と式の利用
今回私の使っていた教科書を元に解説していますが、
&font(red){一部の内容は、教科書によっては平方根に含まれている}
場合がありますので、ご了承下さい。
***素因数分解
素数とは、1とその数自身でしか割ることのできない数字です。
ただし、1は含みません。
1桁の素数は、2と3と5と7になります。
素因数分解とは、これを利用します。
-例)120を素因数分解しなさい。
これは、素数である、2、3、5、7から選び抜き、
割って行きます。
120÷&font(red){2}=60
60÷&font(red){2}=30
30÷&font(red){2}=15
30÷&font(red){3}=&font(red){5}
赤字の数字。これが素数です。これをまとめるだけで答えが出ます。
こたえ
$$2 ^{3}*3*5$$
となりました。解き方はこれだけなんですね〜w
-例)120になるべく小さい数をかけてある自然数の2乗にします。どんな数をかけたらよいか。また、ある自然数とはいくつか。求めなさい。
出ました。この問題よく出ます。
方法としては、まず120を素因数分解します。(上の方法)
$$2 ^{2}*2*3*5$$
何かおかしいことに気付きました?
まぁ、これは後になれば分かると思います。
この数字。全てを2乗にするには、2と3と5をかければ
全ての数字が2乗になります。
$$2 ^{2}*2*3*5*2*3*5$$
$$=(2*2*3*5)^{2}$$
となります。つまり、これである自然数の2乗になったわけです。
まず、かける数は、かけた数をかけ、2*3*5で30。
ある自然数は2*2*3*5で60になりました。
答え かけた数30、自然数60
***式の利用
-例)次の計算をしなさい。
$$98 ^{2}$$
はい。めんどうですね。わかります。
でも、これが簡単にもとめられちゃうんです。
答えは9604ですね。
え?電卓つかったって?いやいやwそんなことはしませんよ。
これは、乗法公式を利用して解きます。
$$(100-2) ^{2}$$
100ー2は98ですので、98の2乗と一致することがわかります。
これを計算すると
2019-01-08T22:25:35+09:00
1546953935
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平方根
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/19.html
さぁ、平方根です。
中3の基礎単元になりますが、
&font(red){2次方程式等、色々な場面で使われる重要なものです。}
**平方根を答える
***例)4の平方根を答えなさい。
まず、平方の意味から。
平方とは簡単に行ってしまえば2乗という意味合いを持ちます。
4の平方根は2乗すると4になる数を求めれば言い訳です。
簡単ですね。答えは2です。
・・・ここでおかしいと思った皆さんは正解です!
実は、2乗して4になる数は『ー2』もこれにあてはまります。
$$(-2) ^{2}=(-2)*(-2)=4$$
よって、答えは 2,ー2です。±2とも答えることができます。
***例)5の平方根を答えなさい。
実は、5の平方根、整数にはなりません。
求めるとすれば
±2.236067977...となります。
さて、ここで平方根での記号 根号(√)の登場です。
ルートは、2乗すると数字はそのままで、√をはずした状態になるので
答えは$$\sqrt[]{\mathstrut 5}$$ となります。
**平方根の乗除の基本
***計算をしなさい。
$$\sqrt[]{\mathstrut 5}*\sqrt[]{\mathstrut 3}$$
$$=\sqrt[]{\mathstrut 5*3}$$
$$=\sqrt[]{\mathstrut 15}$$
これだけです。簡単でしょう。
***計算をしなさい。
$$\sqrt[]{\mathstrut 15}/\sqrt[]{\mathstrut 5}$$
$$=\sqrt[]{\mathstrut 15/5}$$
$$=\sqrt[]{\mathstrut 3}$$
ほら。やっぱ簡単。
では、次回は奥深くやりますよw
2009-06-12T22:07:49+09:00
1244812069
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展開と因数分解
https://w.atwiki.jp/jhsmath/pages/18.html
**展開と因数分解(式の計算)
さて、中3のはじめに習う因数分解です。
***展開(乗法公式)
以下の乗法公式は基本中の基本です。しっかり覚えましょう。
$$(a+b)(c+d)$$
$$=ab+ad+bc+bd$$
$$(x+a)(x+b)$$
$$=x ^{2}+(a+b)x+ab$$
$$(x+a) ^{2}$$
$$=x ^{2}+2ax+a ^{2}$$
$$(x-a) ^{2}$$
$$=x ^{2}-2ax+a ^{2}$$
$$(x+a)(x-a)$$
$$=x ^{2}-a ^{2}$$
***因数分解
因数分解って、公式とかないんですね。
なので、頭を使って考えることが重要です。
$$x ^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$$
これを利用して解きましょう。
$$x ^{2}+6x+8$$
これを因数分解しなさい。
考え方としては、
① 積が8になる、2つの数を見つける。
② ①のうち、和が6になるものを見つける。
|CENTER:積が8|CENTER:和が6|
|CENTER:1と8|CENTER:×|
|CENTER:ー1とー8|CENTER:×|
|CENTER:2と4|CENTER:○|
|CENTER:ー2とー4|CENTER:×|
よって、aとbは2と4。
よって、答えは
(x+2)(x+4)もしくは(x+4)(x+2)になります。
これさえ利用すればだいたい解けます。
(x+3)(x+3)になったらまとめてしまえばいいんです。
$$(x+3) ^{2}$$
に。
2009-06-12T21:21:07+09:00
1244809267