数学 > 数学B > 数列 > {等差×等比}型数列の和⇒微分を利用せよ

オリジナル

等差数列×等比数列の和は計算が大変。教科書ではずらして解くわけだが、
簿記などの別冊冊子の配布を希望していなければ、計算するスペースが無い
恐れがある。
そんな時は微分を使うべし。使うか使わないかで最悪5分以上の差が出る。
等差数列をpn+q,等比数列をar^(n-1)とすると
等差数列×等比数列＝panr^(n-1)+qar^(n-1)=Anr^(n-1)+Br^(n-1)とおける。
∑{Akr^(k-1)+Br^(k-1)}=∑Akr^(k-1)+∑Br^(k-1)
Bの方はそのまま公式。後は前の部分。
x^(n+1)-1=(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)(x-1)よりｘ≠1のとき
(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)={x^(n+1)-1}/(x-1)
xで微分して
1+2x+3x^2+・・・+(n-1)x^(n-2)+nx^(n-1)={(n+1)(x-1)x^n-x^(n+1)+1}/(x-1)^2
x=rとすれば
∑kr^(k-1)=1+2r+3r^2+・・・+(n-1)r^(n-2)+nr^(n-1)
={(n+1)(r-1)r^n-r^(n+1)+1}/(r-1)^2
∑はk=1～n
微分の結果を丸暗記しておくと、あっという間に解ける。
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　　　イ　　 i　ｲ　i´｀!　　　ﾚ　i´｀! ﾄ!　 ﾊ　く　　　は
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　　　　ブ く .ﾊ 　,r‐- ､＿_,-‐-､ 〈人ﾉ　ﾊ　　 ﾍ
　　区 .ｌ　/　へゞー-,.ー ､-一.!　ﾊﾉ- ､ ﾍ　　　',
　　間 .ス　ゝ　/:::｀＞ー一＜´::|7 ﾉ　　 ヽ/　　　',
　　だ!.ト　/ 　ｲ::::::ﾄ､＿|｡|＿ﾉ::::|ﾄﾉ　 

(出典: 初代 >>498)

TeX表示・補足

等差数列を 、等比数列を とする。

いま、求めたいものは の和 である。ここで、

について、 (ともに定数) とおけば、

については等比数列の和の公式で対応できる。

一方、

の処理がこのテクニックの要である。

以下この処理について述べる。 という式の変形について考えると、

とできるから、 のとき

両辺をで微分して(文系履修者は、右辺の微分に商の微分法を用いることに注意)、

とすると、これは処理しようとしているシグマの式と一致するから、