数学 > 数学B > 数列 > {等差×等比}型数列の和⇒微分を利用せよ


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オリジナル

等差数列×等比数列の和は計算が大変。教科書ではずらして解くわけだが、
簿記などの別冊冊子の配布を希望していなければ、計算するスペースが無い
恐れがある。
そんな時は微分を使うべし。使うか使わないかで最悪5分以上の差が出る。
等差数列をpn+q,等比数列をar^(n-1)とすると
等差数列×等比数列=panr^(n-1)+qar^(n-1)=Anr^(n-1)+Br^(n-1)とおける。
∑{Akr^(k-1)+Br^(k-1)}=∑Akr^(k-1)+∑Br^(k-1)
Bの方はそのまま公式。後は前の部分。
x^(n+1)-1=(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)(x-1)よりx≠1のとき
(1+x+x^2+x^3+・・・+x^(n-1)+x^n)={x^(n+1)-1}/(x-1)
xで微分して
1+2x+3x^2+・・・+(n-1)x^(n-2)+nx^(n-1)={(n+1)(x-1)x^n-x^(n+1)+1}/(x-1)^2
x=rとすれば
∑kr^(k-1)=1+2r+3r^2+・・・+(n-1)r^(n-2)+nr^(n-1)
={(n+1)(r-1)r^n-r^(n+1)+1}/(r-1)^2
∑はk=1~n
微分の結果を丸暗記しておくと、あっという間に解ける。
        /::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ハ-┐    Λ/
      _,.ヘ/:::::::,ヘ::::::::__r-、斗<´   L_ /
    「    `ヽ  ハ-ァ___ノ_       /
   rソ  >'´,r―― 、_ r――-、イ_ /
    > ´::::/  /  / i  ヽ   \::::<   数
 <:::::::::/ / /\ ./ ハ  /,ゝ、|  |::::::::>   列
   `ヽノ  ./ r ―-、-/  ! /ァ―、 !   ト、:::::>
   イ   i イ i´`!   レ i´`! ト!  ハ く   は
  Λ    ハ  l__リ      l__リ .|レ'ン  7
ヽV  V´`フ .| `ー-   、  -一´i ハ i  \/\/\
    ブ く .ハ  ,r‐- 、__,-‐-、 〈人ノ ハ   ヘ
  区 .l / へゞー-,.ー 、-一.! ハノ- 、 ヘ   ',
  間 .ス ゝ /:::`>ー一<´::|7 ノ   ヽ/   ',
  だ!.ト /  イ::::::ト、_|。|_ノ::::|トノ  

(出典: 初代 >>498)

TeX表示・補足

等差数列を a_{n}=pn+q、等比数列を b_{n}=ar^{n-1} とする。

いま、求めたいものは a_{n}b_{n} の和 \sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k} である。ここで、

a_{n}b_{n}&=&panr^{n-1}+qar^{n-1}

について、 pa=A,\ qa=B (ともに定数) とおけば、


</dd></dl>
<p>\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum_{k=1}^{n}(Akr^{k-1}+Br^{k-1}) \\
			&=\sum_{k=1}^{n}Akr^{k-1}+\sum_{k=1}^{n}Br^{k-1} \\
			&=A\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}+B\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}
\end{align}
\sum_{k=1}^{n}r^{k-1} については等比数列の和の公式で対応できる。

一方、

\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}=1+2r+3r^{2}+4r^{3}+\cdots+(n-1)r^{n-2}+nr^{n-1}

の処理がこのテクニックの要である。

以下この処理について述べる。 x^{n+1}-1 という式の変形について考えると、

x^{n+1}-1=(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n-1}+x^{n})(x-1)

とできるから、 x\ne1 のとき

1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{n-1}+x^{n}&=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}

両辺をxで微分して(文系履修者は、右辺の微分に商の微分法を用いることに注意)、

1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots+(n-1)x^{n-2}+nx^{n-1}&=\frac{(n+1)(x-1)x^{n}-x^{n+1}+1}{(x-1)^{2}}

x=r とすると、これは処理しようとしているシグマの式と一致するから、


</dd></dl>
<p>\begin{align}
\sum_{k=1}^{n}kr^{k-1}&=1+2r+3r^{2}+4r^{3}+\cdots+(n-1)r^{n-2}+nr^{n-1} \\
&=\frac{(n+1)(r-1)r^{n}-r^{n+1}+1}{(r-1)^{2}}
\end{align}

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