図形の証明の仕方 - 中学数学@wiki

数学　図形の証明　中２編その１

今回は中学のニガテbest３に入ると思われる、図形の証明を紹介します。
と、いっても証明はたくさんありますので、今回は中２、次回は中３内容を触れようと思います。

図形の合同

中２で習う合同の図形の証明は何をいってもまず、いかに早く対応する等しい場所を見つけだせるかが重要になってきます。

例）四角形ABDCが平行四辺形でAE=DFのとき、合同な三角形を見つけ
それを証明しなさい。

AE=DFのある三角形はABEとDCFしかありません。よって、それが合同となると考えて良いでしょう。

△ABEと△DCFにおいて 仮定より　AE=DF　① 平行四辺形の向かい合う辺はそれぞれ等しいから AB=CD　② 平行四辺形の向かい合う角はそれぞれ等しいから ∠A=∠D　③ ①、②、③より ２組の辺とそのはさむ角がそれぞれ等しいから △ABE=△DCF

平行四辺形であることを証明する

中２の内容として、平行四辺形であることを証明する問題が有ります。
「向かい合う角が等しいとき、平行四辺形である」というのを証明する際に
はじめて、証明で使う１つの用語があります。

例）四角形ABCDで、２組の向かい合う角がそれぞれ等しい時、
四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい。

仮定　∠A=∠C, ∠B=∠D 結論　AB//DC , AD//BC 四角形の角の和は360°であるから、 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°　① ①に∠A＝∠C,∠B=∠Dを代入すると、 ∠A＋∠B＋∠A＋∠B＝360°　 よって、２∠A＋２∠B＝３６０° 両辺を２で割って　∠A＋∠B＝１８０°　② 頂点Aにおける外角、∠DAEをつくると ∠DAB＋∠DAE＝１８０°　③ ②、③より ∠CBA＝∠DAE　 同位角が等しければ平行だから AD//BC　④ 同様にして AB//DC　⑤ ④、⑤より、２組の向かい合う辺がそれぞれ平行だから 四角形ABCDは平行四辺形である。

同様にしてとは、同じような手順で証明ができる場合のみ使うことができます。
上の「同様にして」には、以下のことが省略されています。

頂点Bにおける外角、∠ABFをつくると
∠ABC＋∠ABF＝１８０°　　⑥
②、⑥より ∠DCB＝∠ABF
同位角が等しければ平行だから AB//DC　⑤

どうです？わかっていただけましたか？
いかに早く等しい場所を見つけられるか、これが重要です。