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数学 図形の証明 中2編その1


今回は中学のニガテbest3に入ると思われる、図形の証明を紹介します。
と、いっても証明はたくさんありますので、今回は中2、次回は中3内容を触れようと思います。

図形の合同

中2で習う合同の図形の証明は何をいってもまず、 いかに早く対応する等しい場所を見つけだせるかが重要になってきます。

例)四角形ABDCが平行四辺形でAE=DFのとき、合同な三角形を見つけ
それを証明しなさい。

AE=DFのある三角形はABEとDCFしかありません。よって、それが合同となると考えて良いでしょう。
△ABEと△DCFにおいて
仮定より AE=DF ①
平行四辺形の向かい合う辺はそれぞれ等しいから
AB=CD ②
平行四辺形の向かい合う角はそれぞれ等しいから
∠A=∠D ③
①、②、③より
2組の辺とそのはさむ角がそれぞれ等しいから
△ABE=△DCF

平行四辺形であることを証明する

中2の内容として、平行四辺形であることを証明する問題が有ります。
「向かい合う角が等しいとき、平行四辺形である」というのを証明する際に
はじめて、証明で使う1つの用語があります。

例)四角形ABCDで、2組の向かい合う角がそれぞれ等しい時、
四角形ABCDは平行四辺形であることを証明しなさい。
仮定 ∠A=∠C, ∠B=∠D
結論 AB//DC , AD//BC
四角形の角の和は360°であるから、
∠A+∠B+∠C+∠D=360° ①
①に∠A=∠C,∠B=∠Dを代入すると、
∠A+∠B+∠A+∠B=360° 
よって、2∠A+2∠B=360°
両辺を2で割って ∠A+∠B=180° ②
頂点Aにおける外角、∠DAEをつくると
∠DAB+∠DAE=180° ③
②、③より
∠CBA=∠DAE 
同位角が等しければ平行だから AD//BC ④
同様にして AB//DC ⑤
④、⑤より、2組の向かい合う辺がそれぞれ平行だから 四角形ABCDは平行四辺形である。

同様にして とは、同じような手順で証明ができる場合のみ使うことができます。
上の「同様にして」には、以下のことが省略されています。

頂点Bにおける外角、∠ABFをつくると
∠ABC+∠ABF=180°  ⑥
②、⑥より ∠DCB=∠ABF
同位角が等しければ平行だから AB//DC ⑤

どうです?わかっていただけましたか?
いかに早く等しい場所を見つけられるか、これが重要です。
添付ファイル